레진코믹스

주의: 가능한 한 배경지식 없이도 이해할 수 있도록 썼으니 내용이 좀 길지만 차근차근 스크롤을 내리기를 권합니다.

0. 개인적인 잡소리.

대학생 고학년이나 졸업자들에게 가장 어려웠던 과목을 꼽으라고 한다면 전부 대답이 다르겠지만,

제 경우는 수학과의일반위상수학이었답니다.

일반적으로 어려운 과목이라하면 외울게 많거나, 계산이 더럽거나, 과제가 많거나, 논리전개를 따라가기 힘들거나 하는 식인데,

제가 일반위상수학을 처음 접할때부터 든 생각은

- 이 과목에서는 대체 뭘 하려는 것인가

- 나는 지금 이해를 하고있는 것인가 아닌 것인가

이런 것들이었네요.

일반위상수학이라는 과목은 초반부터 아주 추상적인 개념들이 계속 튀어나오기 때문에 많은 사람들이 당황하게 됩니다.

0. 열린구간과 닫힌구간

2015년도 기준, 고등학교 수학2에서 배우는 내용중에 '열린구간', '닫힌구간'이라는 개념이 있습니다.

구간의 양 끝점을 포함하지 않으면 열린구간, 포함하면 닫힌구간입니다.

수학 2에서는 닫힌구간에서만 중간값정리가 성립한다든가 하는 정도로 이용하지만,

사실 수학에서 열림/닫힘 개념은 알고보면 훨씬 중요합니다.

1. 열린집합과 닫힌집합

'열려있다', '닫혀있다'라는 개념은 수직선 위의 구간뿐만이 아니라 다양한 집합에 대해서 정의할 수 있어요.

예를들면 2차원 이상의 공간에 있는 집합에도 자연스럽게 정의될 수 있지요.

이제는 '가장자리의 점들을 포함하지 않으면 열린 집합이다' 라고 생각하면 되겠네요

닫힌 집합도 마찬가지로 '가장자리의 점을 모두 포함하면 닫힌 집합이다'로 정의하면 아주 자연스럽습니다.

(혹은 열린집합의 여집합을 닫힌집합으로 정의할 수도 있답니다.)

여기까지는 아직 직관적이고 쉽습니다.

2. 열린 집합의 세가지 성질

일반적으로 열린집합은 세가지 성질을 가집니다.

그림으로 보면 명확해집니다.

세가지 경우 모두 '가장자리 점을 포함하지 않는다'는 정의를 잘 만족하는 걸 알 수 있지요.

3. '거리' 개념의 등장

갑자기 거리얘기가 나온다고 당황하지 말고 계속 따라오세요.

앞쪽에서 집합의 열림/닫힘은 가장자리의 점들을 포함하느냐/아니냐로 정의할 수 있다고 얘기했습니다.

여기서 근본적인 문제가 하나 있습니다.

점이 가장자리에 있는지 아닌지 어떻게 정하지?

1차원 구간이었다면 양끝점인 최댓값/최솟값인지를 따지면 되지만, 다른 공간에서는요?

이에 대한 명확한 해결책은 있습니다.

어떤 점의 '근방'에 집합에 포함되는 점과 포함되지 않는 점이 둘 다 들어있으면 가장자리이다.
말로하니까 더럽지만 그림으로 보면 확실해집니다. 주어진 점 근처에서 회색과 흰색이 둘다 들어있으면 가장자리라는 얘기예요.

여기서 주어진 점의 '근방', 그러니까 기준점에서 가까운 점들이라는 개념이 등장했다는 것이 중요합니다.

가깝다는 개념을 이용하기 위해서는 두 점사이의 거리가 반드시 정의되어야 하니,

거리의 개념이 생뚱맞게 나온게 아니라는 걸 알 수 있습니다.