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1.내용 이해를 위한 기본 개념

소수의 정의를 설명해 드리겠습니다

소수(Prime Number)는 다음과 같은 특성을 가진 자연수입니다

1보다 큰 자연수입니다

오직 두 개의 약수만을 가집니다1과 자기 자신

즉 소수는 1과 자기 자신 외에는 어떤 자연수로도 나누어 떨어지지 않는 수입니다

몇 가지 중요한 점

1은 소수가 아닙니다 (정의상 1보다 커야 함)

2는 가장 작은 소수이며, 유일한 짝수 소수입니다

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... 등이 소수의 예입니다

소수의 반대 개념은 합성수입니다

합성수는 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 가지는 1보다 큰 자연수입니다

2.글의 내용 이해

2-1 초등학생 수준

안녕하세요! 소수가 무한히 많다는 것을 재미있게 설명해 볼게요

상상의 나라로 함께 떠나볼까요?

숫자 마을에 소수들이 살고 있어요. 2, 3, 5, 7, 11 같은 친구들이죠

어느 날 한 아이가 "우리가 마지막 소수야!"라고 말했어요

그런데 장난꾸러기 P가 나타났어요 P는 이렇게 말했죠

"내가 새로운 수를 만들어볼게 모든 소수를 곱하고 1을 더할 거야!"

예를 들어 소수가 2, 3, 5뿐이라고 생각하면

P = (2 × 3 × 5) + 1 = 30 + 1 = 31

이렇게 만든 P는 재미있는 특징이 있어요

어떤 소수로 나눠도 항상 1이 남아요!

하지만 이상한 일이 생겼어요

P는 소수들보다 크니까 소수가 아니에요

그런데 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않아요

이건 말이 안 되죠?

이런 이상한 일이 생긴 이유는 뭘까요? 바로 "우리가 마지막 소수야!"라고 말한 게 잘못됐기 때문이에요

결국 소수는 계속 새로 나올 수 있다는 걸 알게 됐어요

숫자 마을에는 언제나 새로운 소수 친구들이 찾아올 수 있답니다!

이렇게 우리는 소수가 무한히 많다는 걸 재미있게 알아봤어요

신기하죠?

2-2 귀류법 사용

1.우리는 "소수의 개수가 유한하다"는 명제를 참이라고 가정했습니다

2.이 가정 하에 논리를 전개했을 때 모순이 발생했습니다

-P는 합성수여야 하는데 (소수는 유한하다고 가정하였고 +1 때문에 가장 큰 소수보다 크므로)

-동시에 어떤 소수로도 나누어 떨어지지 않습니다 (정의에 의해)

1.이 모순은 우리의 초기 가정 "소수의 개수가 유한하다"가 잘못되었음을 의미합니다

2.따라서 초기 가정의 반대인 "소수의 개수는 무한하다"가 참이 됩니다

이는 귀류법의 전형적인 예시입니다

어떤 명제를 참이라고 가정하고

그로부터 모순을 이끌어냄으로써 그 명제가 거짓임을 증명하는 방법입니다

이 증명 방법은 직접적으로 무한한 소수를 나열할 수 없는 상황에서 매우 유용하며 수학적으로 강력한 논증 방법입니다

3.덧글에서 논쟁중인(p1 * p2 * ... * pn) + 1 은 소수인가?

(P₁ * P₂ * ... * Pn) + 1 (여기서 P₁, P₂, ..., Pn은 알려진 모든 소수를 나타냅니다)이 항상 소수인 것은 아닙니다

이 수에 대해 몇 가지 중요한 점을 설명드리겠습니다

1.이 수는 반드시 소수일 필요는 없습니다 합성수일 수도 있습니다

2.중요한 점은 이 수가 P₁부터 Pn까지의 어떤 소수로 나누어도 항상 나머지가 1이 된다는 것입니다

3.만약 이 수가 합성수라면 그것을 나누는 소수 인수는 반드시 Pn보다 커야 합니다

왜냐하면 P₁부터 Pn까지의 소수로는 나누어 떨어지지 않기 때문입니다

4.이 성질이 증명에서 중요한 역할을 합니다

우리가 "모든 소수"를 곱했다고 가정했는데

이 수를 나누는 새로운 소수가 존재한다면 그것은 우리의 가정(소수의 개수가 유한하다는 가정)이 틀렸다는 것을 의미합니다

5.실제로 이 방법으로 만들어진 수들 중 일부는 소수이고 일부는 합성수입니다

예를 들어

2 + 1 = 3 (소수)

2 * 3 + 1 = 7 (소수)

2 * 3 * 5 + 1 = 31 (소수)

2 * 3 * 5 * 7 + 1 = 211 (소수)

2 * 3 * 5 * 7 * 11 + 1 = 2311 (소수)

2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 + 1 = 30031 = 59 * 509 (합성수)

이 증명의 핵심은 이 수가 소수인지 아닌지가 아니라

이 수가 기존에 알려진 모든 소수보다 큰 새로운 소수 인수를 가질 수 있다는 점입니다

4.덧글에서 말하는 이미지의 "대충 설명"은 틀린것인가?

약간의 수정이 필요합니다

정확한 설명은 다음과 같습니다

대충 설명: 소수가 끝이 있다고 가정하자

존재하는 모든 소수를 마지막까지 전부 곱하고 1을 더해보자

그럼 그 수는 곱한 소수들 중 어느 것으로도 나누어 떨어지지 않는 새로운 수가 된다

이 새로운 수는 소수이거나 아니면 우리가 고려하지 않은 더 큰 소수의 인수를 가진다

두 경우 모두 우리의 초기 가정(소수의 개수가 유한하다)과 모순된다

따라서 소수의 개수는 무한해야 한다

주요 차이점

새로운 수가 반드시 소수일 필요는 없습니다

이 수는 기존 소수들로 나누어 떨어지지 않는 것이 핵심입니다

이 수가 합성수라면 그것을 나누는 소수는 우리가 고려한 '모든' 소수보다 커야 합니다