레진코믹스

며칠 전의 포텐글인 [안드로메다까지 몇 년 안에 갈 수 있다]는 건

바로 '특수상대성' 이론의 '공간수축' 개념을 적용한 것입니다.

빛의 속도로 가도 250만 년이나 걸리는 거리를

불과 몇 년 안에 갈 수 있다는 건 얼핏 생각하면

잘 이해 되지 않습니다.

일반인이 특수상대성 이론의 '공간 수축' 개념에 대해 이해하기는

대단히 어렵습니다. 저 역시 마찬가지였지만 순수한 호기심으로

특수상대성 이론의 개념을 배웠는데, 우주/과학탭에 이와 관련한

질문이 올라온 김에 제가 이해한 방법을 그대로 옮겨볼까 합니다.

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'공간수축'을 이해하기 위해서는 그 전에 특수 상대성 이론에서

말하는 '시간 지연'을 먼저 알고 있어야 접근이 쉽습니다.

'시간지연' 이란 더 빠르게 움직이는 물체의 시간이

물체의 외부에 비해 상대적으로 느려지는 현상입니다.

여기 완전한 진공 상태에 놓인 투명한 상자가 있습니다.

상자의 가로 길이는 30만km 이며,

편의상 광속은 언제나 30만km/s로 일정하다고 가정합니다.

상자의 왼편에 빛을 발사하는 장치를 설치하고

상자의 오른편을 향해 발사합니다.

그럼 왼쪽에서 발사한 빛이 내부를 지나 오른편에 닿기까지

1초가 소요될 것입니다.

그럼 우주의 진공 속에서 이런 상자 2개 준비하여,

하나는 10만km/s 속도로 오른쪽을 향해 등속도 운동을 시키고,

다른 하나는 15만km/s 속도로 동일한 운동을 시킵니다.

이 두 케이스를 그려 살펴보면 다음과 같습니다.

10만km/s로 등속도 운동을 하는 30만km 길이의 상자는

빛이 상자 좌측벽에서 출발해 상자 우측벽에 닿기까지

총 1.5초가 소요됩니다.

15만km/s로 등속도 운동을 하는 30만km 길이의 상자는

빛이 상자 좌측벽에서 출발해 상자 우측벽에 닿기까지

총 2초가 소요됩니다.

이 상자들을 외부 관찰자 시점에서 관측한다면

빛이 상자 왼쪽에서 오른쪽까지 동일하게 움직이는데도

정지 상태의 상자 = 1초가 소요됐고

10만km/s 속도의 상자 = 1.5초가 소요됐으며

15만km/s 속도의 상자 = 2초가 소요되어

더 빠르게 움직인 15만km/s 속력의 상자 속 빛이

정지 상태의 상자보다는 1초 더 늦게,

10만km/s 속도의 상자보다는 0.5초 더 늦게

상자의 우측벽에 도착하는 것처럼 보입니다.

이러한 현상이 바로 "시간지연"의 개념 입니다.

(이것이 어째서 '특수'상대성 이론이냐면

관찰자가 정지, 혹은 등속도 운동을 하는

'특수한 경우'에만 성립하기 때문입니다)

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그렇다면 시간지연 현상이 어째서 공간수축과 관련이 되는지

알아보겠습니다. 이걸 설명하는 방법은 두 가지가 존재합니다.

첫 번째 방법은 간섭받지 않는 빛의 속도는

변하지 않는다는 사실을 이용하는 것입니다.

위에서 먼저 살펴보았던, 등속도 운동을 하는 상자를

다시 가져와 약간의 요소를 살짝 덧붙입니다.

상자의 우측면 표면 높이에 딱 맞게 거울을 설치합니다.

그럼 좌측에서 발사된 빛이 상자의 우측면에 도달하면

거울에 부딪쳐 반사가 될 것입니다.

정지 상태의 상자는

왼편에서 오른편으로 빛이 이동하는데 1초,

거울에 반사되어 다시 왼편으로 이동하는데 1초,

이렇게 왕복하는데 총 2초의 시간이 소요됩니다.

(편의상 빛의 궤적은 방향에 따라 분리하여 표시하였습니다)

그럼 10만km/s로 이동하는 상자를 다시 가져와보겠습니다.

거울에 반사되어 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하는 빛은

10만km/s로 우측이동하는 상자의 좌측벽을 만나게 됩니다.

우벽에서 좌벽까지 닿는데 소요되는 시간을 Ta초 라고 하겠습니다.

그럼 15만km/s로 등속운동하는 상자는 어떨까요?

마찬가지로 상자의 오른쪽 거울에 닿고 반사된 빛이

좌측 방향으로 등속 운동을 하다가

15만km/s 속도로 우측이동하는 상자의 왼벽에 부딪칩니다.

여기에 소요되는 시간은 Tb초 라고 하겠습니다.

두 상자의 크기와 빛의 속도는 모두 동일하지만

상자 좌측벽이 오른쪽으로 이동하는 속도가 각각 다르므로,

거울에 반사된 빛이 왼쪽으로 이동하다가

상자의 좌측벽과 만나기까지의 소요되는 시간을 비교하면

무조건 [ Ta초 > Tb초 ] 가 됩니다.

두 상자의 외부에서 이 현상을 관찰해보면,

1) 동일한 길이인 상자 안에서

2) 속력이 변하지 않는 빛이

3) 우측벽에 반사된 순간부터 좌측벽에 닿는데까지

4) 더 빠른 속도로 운동하는 상자에서 더 짧은 시간이 걸립니다.

각각의 상자 속에서 빛의 속력은 불변한데,

상자 내부의 동일한 위상으로 빛이 이동하는데 걸리는 시간이

더 짧아진다는 것은 물리학적 해석으로 무엇을 의미할까요?

바로 "거리가 상대적으로 더 짧다"는 것입니다.

하지만 상자는 애초에 길이가 30만km로 양쪽 모두 동일하고

인위적으로 길이를 조절하거나 조작하지 않았습니다.

그러므로 이 상자 내부의 거리가 짧아지기 위해서는

(외부 관찰자 시점에서) 상자가 존재하는 공간이 수축됐다고

해석해야 하는 것입니다.

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그럼 공간수축을 이해하는 두 번째 방법을 살펴보겠습니다.

과학에 관심이 있는 분이라면 자세한 내용까지는 몰라도

만유인력의 법칙 중 하나인중력은 질량의 곱에 비례한다와

아인슈타인의 상대성 이론을 대표하는 수식인

E=MC²는 들어보셨을 겁니다.

뉴턴의 만유인력 법칙은 다음과 같습니다.

1) 중력은 양 물질의 합계 질량의 곱에 비례하여 커진다

2) 중력은 양 물질의 거리의 제곱에 반비례하여 작아진다

3) 중력의 영향이 강력할수록 중력가속도가 증가한다

4) 낙하하는 물체는 질량에 관계없이 동일한 중력가속도를 가진다

여기서 1)번 조항을 기억하시면 되겠습니다.

상대성 이론을 대표하는 상징적 수식인E=MC²는

[ 에너지 = 질량 x 광속²]라는 것인데,

광속은 다른 간섭이 없는 진공에서는 변하지 않는 상수입니다.

(광속불변의 법칙)

그래서 변치않는 상수인 광속을 제외하고 생각하면

수식의 좌변인 에너지와 수식의 우변인 질량은

서로 비례하는 관계라는 것을 알 수 있습니다.

(좌변이 커지면 우변도 함께 커져야 등식이 성립하므로)

여기서 다시금 운동하는 상자를 소환해보면,

뉴턴의 운동에너지 법칙 ( ½MV²)에 의하여

10만km/s의 등속도 운동을 하는 상자보다

15만km/s의 등속도 운동을 하는 상자가

훨씬 큰 운동에너지를 가지고 있습니다.

이 운동에너지를 상대성이론의 좌변에 대입해보면

(다른 조건이 다 동일하다고 할 때)

더 빠르게 움직이는 물체가 더 큰 에너지를 가지고 있으므로

속도가 빠를수록 질량도 그에 비례하여 커지게 됩니다.

그래서 "속도가 광속에 가까워지면 질량이 점점 커져서

가속에 더 많은 에너지가 필요하므로 광속을 넘는 우주선은

제작할 수 없다" 라는 명제가 등장하게 되는 것입니다.

여튼 이렇게 하여 우리는

[속도가 빠른 물체일수록 보유한 에너지가 증가하고

그만큼 운동체의 질량도 비례하여 증가한다] 라는 사실을

알 수 있습니다.

그런데 여러분은 인터스텔라 같은 영화에서

중력이 강력한 천체 근처에 접근하면

중력 내부에 있는 사람의 시간이 느려지는 걸 보셨을 겁니다.

강력한 중력이 시간과 공간 자체를 왜곡시키기 때문입니다.

(이에 대한 설명은 일반 상대성 이론에 있습니다만,

글이 너무 길어질 것 같아서 생략할까 합니다.

다만 '강한 중력 = 시간과 공간을 왜곡시키며

강한 중력장 안에서는 시간이 상대적으로 느려진다' 라는 것만

기억하시면 충분할 것 같습니다)

즉, 속도가 빠르면 빠를수록 에너지가 증가하며,

일반 상대성 이론인E=MC²에 의해서

운동체의 질량도 속도에 비례하여 증가하므로,

만유인력의 법칙 1) 중력은 질량의 곱에 비례한다까지 도달하면

광속에 가깝게 움직이는 운동체의 주변에 중력장이

발생하게 된다는 사실까지 추론할 수 있습니다.

강한 중력장 안에서의 시간은 외부의 시간과 비교하여

상대적으로 느리게 흐르는 것을 우리는 이미 알고 있으니

이는 특수상대성 이론에서 말하는 [시간지연]과 일치하며,

또한 강한 중력장은 시간 뿐 아니라 공간도 왜곡시키므로

이 역시 특수상대성 이론에서 관측되는 [공간수축]과 일치합니다.

이러한 관계를 통하여, 질량이 있는 물체가 매우 빠르게 이동하면

외부 관찰자가 보기에 [시간지연]과 [공간수축]이 동시에 발생하며,

이 두 현상은 떼어놓고 생각할 수 없다는 사실을 알 수 있습니다.

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제가 물리학이나 해당 분야의 전공자가 아니라서

이해하기 어려웠던 개념은 물리학 석사를 수료하신 부친께

지도받아 작성했습니다만, 본문에 사용한 용어가 부정확하거나

제대로 이해하지 못해 잘못 전달한 부분도 있으리라 생각합니다.

이런 부분은 전공자, 혹은 해당 분야 종사자께서

댓글을 통해 수정해주시면 깊이 감사드리겠습니다.